Los límites son fundamentales en la matemática, ya que permiten entender mejor el comportamiento de funciones. Esto es especialmente cierto cuando se trata de estudiar el comportamiento de funciones en el infinito. Para entender mejor los límites, hay algunas propiedades útiles que debemos conocer. En este artículo, vamos a repasar algunas de estas propiedades y veremos algunos ejemplos para ayudar a ilustrar cada una.
Propiedad 1: Límite de una suma
Esta propiedad establece que el límite de una suma de dos funciones es igual a la suma de los límites de cada función. Esto significa que si tenemos dos funciones f (x) y g (x) cuyos límites son L1 y L2, respectivamente, entonces el límite de la suma de estas dos funciones será igual a la suma de L1 y L2. Esto se puede ver en la siguiente ecuación:
lim f (x) + g (x) = lim f (x) + lim g (x)
Por ejemplo, consideremos la siguiente función: f (x) = 4x + 3 y g (x) = 5x – 2. La función resultante es f (x) + g (x) = 9x + 1. Si calculamos el límite de esta función cuando x tiende a infinito, obtenemos el límite de la función como +infinito. Esto se puede verificar usando la propiedad de límite de la suma:
lim (4x + 3) + (5x – 2) = lim 4x + 3 + lim 5x – 2
= lim 4x + lim 5x + lim 3 – lim 2
= +∞ + +∞ + 3 – 2 = +∞
Propiedad 2: Límite de un producto
Esta propiedad establece que el límite de un producto de dos funciones es igual al producto de los límites de cada función. Esto significa que si tenemos dos funciones f (x) y g (x) cuyos límites son L1 y L2, respectivamente, entonces el límite del producto de estas dos funciones será igual al producto de L1 y L2. Esto se puede ver en la siguiente ecuación:
lim f (x) * g (x) = lim f (x) * lim g (x)
Por ejemplo, consideremos la siguiente función: f (x) = 4x + 3 y g (x) = 5x – 2. La función resultante es f (x) * g (x) = 20x^2 + x – 6. Si calculamos el límite de esta función cuando x tiende a infinito, obtenemos el límite de la función como +infinito. Esto se puede verificar usando la propiedad de límite del producto:
lim (4x + 3) * (5x – 2) = lim 4x + 3 * lim 5x – 2
= lim 4x * lim 5x + lim 3 * lim -2
= +∞ * +∞ + 3 * -2 = +∞
Propiedad 3: Límite de un cociente
Esta propiedad establece que el límite de un cociente de dos funciones es igual al cociente de los límites de cada función. Esto significa que si tenemos dos funciones f (x) y g (x) cuyos límites son L1 y L2, respectivamente, entonces el límite del cociente de estas dos funciones será igual al cociente de L1 y L2. Esto se puede ver en la siguiente ecuación:
lim f (x) / g (x) = lim f (x) / lim g (x)
Por ejemplo, consideremos la siguiente función: f (x) = 4x + 3 y g (x) = 5x – 2. La función resultante es f (x) / g (x) = (4x + 3) / (5x – 2). Si calculamos el límite de esta función cuando x tiende a infinito, obtenemos el límite de la función como +infinito. Esto se puede verificar usando la propiedad de límite del cociente:
lim (4x + 3) / (5x – 2) = lim 4x + 3 / lim 5x – 2
= lim 4x / lim 5x + lim 3 / lim -2
= +∞ / +∞ + 3 / -2 = +∞
Conclusión
En este artículo, hemos repasado algunas de las principales propiedades de los límites en matemáticas. Estas propiedades son útiles para entender mejor el comportamiento de funciones en el infinito. Por ejemplo, hemos visto cómo usar la propiedad de límite de la suma, la propiedad de límite del producto y la propiedad de límite del cociente para calcular el límite de una función cuando x tiende a infinito. Estas propiedades son esenciales para entender el comportamiento de funciones en el infinito y son fundamentales para la matemática moderna.
