La Regla de Simpson 1/3 se utiliza para aproximar el área bajo la curva. Esta regla es una generalización de la regla del rectángulo para integrar funciones. La Regla de Simpson 1/3 es una de las reglas de integración numérica más comúnmente utilizadas. Esta regla se utiliza para aproximar el área bajo una curva, a partir de unos pocos puntos. Esta regla se utiliza ampliamente en la ingeniería, ciencias, economía y otras áreas.
La Regla de Simpson 1/3 se basa en la idea de que una función se puede aproximar por un polinomio de segundo grado. Esta regla también se conoce como regla del tercio de Simpson, regla del tercio compuesto o regla del tercio del trapecio. Esta regla es una de las reglas de integración numérica más fiables y se utiliza para calcular el área bajo una curva.
Ejemplo 1:
Supongamos que se nos da la función f (x) = x2 -3x + 4 y queremos calcular el área bajo la curva para x = 0 a x = 3. Para usar la regla de Simpson 1/3, primero debemos dividir el intervalo en segmentos iguales. En este caso, el intervalo se divide en 3 segmentos iguales. El punto de partida es x = 0 y el punto final es x = 3. Por lo tanto, los puntos intermedios son x1 = 1 y x2 = 2. Entonces, los 3 segmentos son:
- x = 0 a x = 1
- x = 1 a x = 2
- x = 2 a x = 3
Ahora podemos calcular el área bajo la curva con la regla de Simpson 1/3. El área total se calcula como:
Donde h es el ancho del segmento. En nuestro caso, el ancho del segmento es h = 3-0 = 3. Los valores de f (x) en los puntos intermedios son:
- f(x0) = f(0) = 02 -3(0) + 4 = 4
- f(x1) = f(1) = 12 -3(1) + 4 = 2
- f(x2) = f(2) = 22 -3(2) + 4 = 4
Ahora, podemos usar estos valores para calcular el área total:
Por lo tanto, el área bajo la curva para x = 0 a x = 3 es 16.
Ejemplo 2:
Supongamos que se nos da la función f (x) = x3 + 4x2 – 9x + 2 y queremos calcular el área bajo la curva para x = 0 a x = 5. Para usar la regla de Simpson 1/3, primero debemos dividir el intervalo en segmentos iguales. En este caso, el intervalo se divide en 5 segmentos iguales. El punto de partida es x = 0 y el punto final es x = 5. Por lo tanto, los 4 puntos intermedios son x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3 y x4 = 4. Entonces, los 5 segmentos son:
- x = 0 a x = 1
- x = 1 a x = 2
- x = 2 a x = 3
- x = 3 a x = 4
- x = 4 a x = 5
Ahora podemos calcular el área bajo la curva con la regla de Simpson 1/3. El área total se calcula como:
Donde h es el ancho del segmento. En nuestro caso, el ancho del segmento es h = 5-0 = 5. Los valores de f (x) en los puntos intermedios son:
- f(x0) = f(0) = 03 + 4(0)2 – 9(0) + 2 = 2
- f(x1) = f(1) = 13 + 4(1)2 – 9(1) + 2 = -2
- f(x2) = f(2) = 23 + 4(2)2 – 9(2) + 2 = 8
- f(x3) = f(3) = 33 + 4(3)2 – 9(3) + 2 = 24
- f(x4) = f(4) = 43 + 4(4)2 – 9(4) + 2 = 52
Ahora, podemos usar estos valores para calcular el área total:
Por lo tanto, el área bajo la curva para x = 0 a x = 5 es 156.
Conclusión
La Regla de Simpson 1/3 se utiliza para aproximar el área bajo la curva. Esta regla es una generalización de la regla del rectángulo para integrar funciones. Esta regla se basa en la idea de que una función se puede aproximar por un polinomio de segundo grado. Esta regla se utiliza para calcular el área bajo una curva con una precisión bastante alta. Esta regla se utiliza ampliamente en la ingeniería, ciencias, economía y otras áreas. Se han mostrado dos ejemplos para ayudar a comprender mejor el concepto.
