Cuando se trata de derivadas, la regla de los cuatro pasos es una herramienta útil para calcular la derivada de una función. Esta regla se basa en la definición de la derivada, que es la tasa de cambio instantánea de una función en un punto. En otras palabras, la derivada en un punto es igual al límite de la tasa de cambio promedio entre ese punto y el punto anterior.
La regla de los cuatro pasos se compone de cuatro pasos principales que se deben seguir para calcular la derivada de una función. Estos pasos son:
- Identificar la función
- Determinar la pendiente de la recta tangente
- Calcular la derivada
- Verificar la respuesta
Ejemplo 1: Usando la regla de los 4 pasos para derivar una función
Consideremos la función: f(x) = x2. Usando la regla de los cuatro pasos, podemos encontrar la derivada de esta función.
Paso 1: Identificar la función
En este paso, todo lo que necesitamos hacer es identificar la función dada. Esta función es una función cuadrática, es decir, f(x) = x2.
Paso 2: Determinar la pendiente de la recta tangente
En este paso, necesitamos encontrar la pendiente de la recta tangente en el punto dado. Para encontrar la pendiente de la recta tangente, necesitamos calcular la tasa de cambio promedio entre el punto y el punto anterior. En este caso, el punto anterior es el punto (x, f(x)) y el punto posterior es el punto (x + h, f(x + h)). La tasa de cambio promedio entre estos dos puntos se calcula como:
Tasa de cambio promedio = [f(x + h) – f(x)] / h
Para nuestra función, podemos calcular la pendiente de la recta tangente como:
Tasa de cambio promedio = [f(x + h) – f(x)] / h
Tasa de cambio promedio = [(x + h)2 – x2] / h
Tasa de cambio promedio = (2xh + h2) / h
Tasa de cambio promedio = 2x + h
Paso 3: Calcular la derivada
Ahora que hemos encontrado la pendiente de la recta tangente, podemos encontrar la derivada de la función. La derivada de una función es simplemente el límite de la tasa de cambio promedio a medida que h se acerca a 0. Por lo tanto, la derivada de nuestra función es:
Derivada = límite de (2x + h) cuando h→0
Derivada = 2x
Paso 4: Verificar la respuesta
Para verificar nuestra respuesta, podemos usar la regla de la cadena para comprobar que nuestra respuesta es correcta. La regla de la cadena nos dice que la derivada de una función compuesta se puede encontrar multiplicando la derivada de la primera función por la segunda función. En nuestro caso, la función compuesta es f(g(x)) = x2 donde g(x) = x.
Usando la regla de la cadena, la derivada de esta función compuesta es:
Derivada = f'(g(x)) · g'(x)
Derivada = 2x · 1
Derivada = 2x
Nuestra respuesta es la misma que la que obtuvimos al usar la regla de los cuatro pasos, por lo que sabemos que nuestra respuesta es correcta.
Ejemplo 2: Usando la regla de los 4 pasos para derivar una función
Consideremos la función: f(x) = x3. Usando la regla de los cuatro pasos, podemos encontrar la derivada de esta función.
Paso 1: Identificar la función
En este paso, todo lo que necesitamos hacer es identificar la función dada. Esta función es una función cúbica, es decir, f(x) = x3.
Paso 2: Determinar la pendiente de la recta tangente
En este paso, necesitamos encontrar la pendiente de la recta tangente en el punto dado. Para encontrar la pendiente de la recta tangente, necesitamos calcular la tasa de cambio promedio entre el punto y el punto anterior. En este caso, el punto anterior es el punto (x, f(x)) y el punto posterior es el punto (x + h, f(x + h)). La tasa de cambio promedio entre estos dos puntos se calcula como:
Tasa de cambio promedio = [f(x + h) – f(x)] / h
Para nuestra función, podemos calcular la pendiente de la recta tangente como:
Tasa de cambio promedio = [f(x + h) – f(x)] / h
Tasa de cambio promedio = [(x + h)3 – x3] / h
Tasa de cambio promedio = (3x2h + 3xh2 + h3) / h
Tasa de cambio promedio = 3x2 + 3xh + h2
Paso 3: Calcular la derivada
Ahora que hemos encontrado la pendiente de la recta tangente, podemos encontrar la derivada de la función. La derivada de una función es simplemente el límite de la tasa de cambio promedio a medida que h se acerca a 0. Por lo tanto, la derivada de nuestra función es:
Derivada = límite de (3x2 + 3xh + h2) cuando h→0
Derivada = 3x2
Paso 4: Verificar la respuesta
Para verificar nuestra respuesta, podemos usar la regla de la cadena para comprobar que nuestra respuesta es correcta. La regla de la cadena nos dice que la derivada de una función compuesta se puede encontrar multiplicando la derivada de la primera función por la segunda función. En nuestro caso, la función compuesta es f(g(x)) = x3 donde g(x) = x.
Usando la regla de la cadena, la derivada de esta función compuesta es:
Derivada = f'(g(x)) · g'(x)
Derivada = 3x2 · 1
Derivada = 3x2
Nuestra respuesta es la misma que la que obtuvimos al usar la regla de los cuatro pasos, por lo que sabemos que nuestra respuesta es correcta.
La regla de los cuatro pasos es una herramienta útil para encontrar la derivada de una función. Esta regla se basa en la definición de la derivada, que es la tasa de cambio instantánea de una función en un punto. Usando esta regla, podemos encontrar fácilmente la derivada de una función, como se muestra en los ejemplos anteriores.
